Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

a) Ta có:
$\angle AHB = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\angle HBA = \angle ABC$ (do BH là phân giác của góc ABC)
$\angle BAH = \angle BAC$ (cùng chắn với cung BC)
$\angle AHB = \angle ABC + \angle BAC = \angle ABC + \angle BAH = \angle HBA$

Do đó, ta có $\Delta ABC \sim \Delta HBA$ (theo góc)

Từ đây, ta có $\frac{AB}{HB} = \frac{BC}{BA}$
Suy ra $AB^2 = BC \cdot BH$

b) Ta có $\angle AHB = \angle ABC + \angle BAC = \angle ABC + \angle BAH = \angle HBA$
Do đó, ta có $\Delta ABC \sim \Delta HBA$ (theo góc)

Khi đó, ta có $\frac{EI}{EA} = \frac{DI}{DA}$ và $\frac{EB}{EH} = \frac{DB}{DH}$

Từ hai tỷ số trên, ta có:
$EI \cdot EB = \frac{EI}{EA} \cdot \frac{EB}{EH} \cdot EA \cdot EH = \frac{DI}{DA} \cdot \frac{DB}{DH} \cdot EA \cdot EH = \frac{DI \cdot DB}{DA \cdot DH} \cdot EA \cdot EH$

Ta có $DI \cdot DB = DA \cdot DH$ (do D là trung điểm của EH)
Vậy $EI \cdot EB = EA \cdot EH$