Cho hai điểm M(1, 3) và N(3, - 5) và đường thẳng d có phương trình: 3x + y + 4 = 0

a) Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(1, 3) và N(3, -5), ta cần tính được hệ số góc và hằng số trong phương trình đường thẳng. Gọi phương trình cần tìm là d1, ta có:

- Hệ số góc của d1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-5 - 3)/(3 - 1) = -4/2 = -2
- Chọn điểm M(1, 3) để tính hằng số: 3 = -2*1 + c => c = 5

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M và N là: y = -2x + 5

b) Đường thẳng đi qua N(3, -5) và song song với đường thẳng d có cùng hệ số góc với d. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 3x + y + k = 0, với k là hằng số cần tìm. Thay N vào phương trình ta có: 3*3 - 5 + k = 0 => k = -4

Vậy phương trình đường thẳng đi qua N và song song với d là: 3x + y - 4 = 0

c) Đường thẳng đi qua M(1, 3) và vuông góc với d có hệ số góc bằng âm nghịch nghịch của hệ số góc của d. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 3x + c, với c là hằng số cần tìm. Thay M vào phương trình ta có: 3 = 3*1 + c => c = 0

Vậy phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với d là: y = 3x

d) Để tìm tọa độ điểm P nằm trên đường thẳng d sao cho MP = 2√5, ta cần tìm phương trình đường thẳng vuông góc với d và đi qua M. Ta đã có phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với d là y = 3x. Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là d2, ta có hệ số góc của d2 là -1/3.

Đường thẳng d2 đi qua M(1, 3) nên phương trình của d2 là y = -1/3(x - 1) + 3 = -1/3x + 4

Tìm giao điểm giữa d và d2 ta có tọa độ điểm P là (9/5, 27/5)

e) Để tính cosin góc giữa hai đường thẳng MN và d, ta cần tính cosin của góc giữa hai vector pháp tuyến của hai đường thẳng. Vector pháp tuyến của d là (3, 1) và của MN là (3-1, -5-3) = (2, -8).

Tính cosin góc giữa hai vector ta có: cosθ = (3*2 + 1*(-8))/(√(3^2 + 1^2)*√(2^2 + (-8)^2)) = 6 - 8 / √10*√68 = -2 / 2√(10*17) = -1/√170

1) Để tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng d, ta cần tính vector pháp tuyến của d và tính điểm đối xứng của M qua d. Vector pháp tuyến của d là (3, 1).

Điểm đối xứng M' qua d có tọa độ (x, y) thỏa mãn: (x - 1, y - 3).(3, 1) = 0 => 3(x - 1) + (y - 3) = 0 => 3x + y = 6

Vậy tọa độ điểm M' là (2, 4)

g) Để viết phương trình đường thẳng đi qua O(0, 0) và cách đều 2 điểm M(1, 3) và N(3, -5), ta cần tìm vector pháp tuyến của đường thẳng cần tìm và tính hằng số. Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là d3, ta có:

- Vector pháp tuyến của d3 là (3-0, -5-0) = (3, -5)
- Điểm M(1, 3) nằm trên d3 nên phương trình d3 có dạng: 3x - 5y + c = 0. Thay M vào ta có: 3*1 - 5*3 + c = 0 => c = 12

Vậy phương trình đường thẳng đi qua O và cách đều 2 điểm M và N là: 3x - 5y + 12 = 0