Để phân số \( \frac{5}{x-2} \) có giá trị nguyên, ta cần tìm các số nguyên x sao cho \( x-2 \) chia hết cho 5.

Điều này có nghĩa là \( x-2 \) phải là bội của 5, tức là \( x-2 = 5k \) với \( k \) là số nguyên.

Từ đó, ta có \( x = 5k + 2 \) với \( k \) là số nguyên.

Vậy, tất cả các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu đề bài là các số có dạng \( x = 5k + 2 \) với \( k \) là số nguyên.