a) Xét ΔABM và ΔCDM có 

MA=MC(M là trung điểm của AC)

ˆAMB=ˆCMD
(hai góc đối đỉnh)
MB=MD(gt)
Do đó: ΔABM=ΔCDM(c-g-c)
b) Ta có: ΔABM=ΔCDM(cmt) nên 
ˆABM=ˆCDM (hai góc tương ứng) mà ˆABM và ˆCDM là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CD(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

c) Xét ΔDBN có 

M là trung điểm của BD(gt)

C là trung điểm của DN(gt)

Do đó: MC là đường trung bình của ΔDBN(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MC//BN(Định lí 2 đường trung bình của tam giác)

hay BN//AC(đpcm)

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và tam giác đồng dạng. Gọi E là trung điểm của BC. Ta có tam giác MBE và tam giác MCD là tam giác đều với MB = MD (theo đề bài). Do đó, ta có ME = MC và MB = MD. Ta có tam giác MBE đồng dạng với tam giác MCD (cùng có góc 60 độ). Vậy ta có ME/MB = MC/MD = EC/CD = 1/2. Vậy ta có CD = 2EC. Do đó, ta có BD = BC - CD = BC - 2EC = 2BE - 2EC = 2(BE - EC) = 2EM = 2MC. Vậy ta có BD = 2MC. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng trên tia đối của tia MB, ta có thể lấy điểm D sao cho MB = MD.