Để phân số $\frac{3n+2}{7n+1}$ được rút gọn, ta cần tìm ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số.

Ta có:
$(3n+2, 7n+1) = (3n+2, 7n+1 - 2(3n+2)) = (3n+2, n-3)$

Vì $(3n+2, n-3)$ chính là ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số, nên để phân số được rút gọn, ta cần tìm các số tự nhiên n trong khoảng từ 100 đến 150 sao cho $(3n+2, n-3) = 1$.

Duyệt từ n = 100 đến n = 150, ta có các số tự nhiên n sau thỏa mãn điều kiện trên:
- n = 101
- n = 103
- n = 105
- n = 107
- n = 109
- n = 111
- n = 113
- n = 115
- n = 117
- n = 119
- n = 121
- n = 123
- n = 125
- n = 127
- n = 129
- n = 131
- n = 133
- n = 135
- n = 137
- n = 139
- n = 141
- n = 143
- n = 145
- n = 147
- n = 149

Vậy có 24 số tự nhiên n trong khoảng từ 100 đến 150 để phân số $\frac{3n+2}{7n+1}$ được rút gọn.