a) Ta có BM=MC vì tam giác ABC vuông cân tại A.
Gọi x là độ dài của BD, ta có HC=2x và BK=2x.
Vì BH vuông góc với AD nên tam giác ADB vuông tại D.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ADB ta có:
AB²=AD²+BD²
=> AB²=AM²+BM²
=> AB²=AM²+(BC/2)²
=> AB²=AM²+(2x)²
=> AB=√(AM²+4x²)
Tương tự, áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ADC ta có:
AC²=AD²+CD²
=> AC²=AM²+CM²
=> AC²=AM²+(BC/2)²
=> AC²=AM²+(2x)²
=> AC=√(AM²+4x²)
Vậy ta có BH=AB-AC=√(AM²+4x²)-√(AM²+4x²)=0
=> BH=AK

b) Ta có AM//CK vì tam giác ABC vuông cân tại A.
Vì BH vuông góc với AD nên tam giác ADB vuông tại D.
Vì CK vuông góc với BH nên tam giác BCK vuông tại C.
Do đó, ta có DI vuông góc với AC.

c) Ta có KM//BC vì tam giác ABC vuông cân tại A.
Gọi O là giao điểm của KM và HC.
Ta có KM//BC và HC//BK nên tam giác KHC và KMO đồng dạng.
Do đó, ta có góc KMO=góc KHC.
Vì tam giác KHC vuông tại C nên góc KHC=90°.
Vậy góc KMO=90°, tức là KM là đường phân giác của góc HKC.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.