Từ điểm A ngoài đường tròn (2) cho trước vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (0) (A và B là các tiếp điểm)

a) Ta có:
- Góc AOB = 90° (do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOB vuông)
- Góc AIB = 90° (do OI vuông góc với DE)
- Góc AOC = 90° (do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOC vuông)
Vậy ta có A, B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. Tâm của đường tròn là trung điểm của AC, Bán kính là nửa đường cao của tam giác AOC.

b) Ta có:
- Góc AOB = 90° (do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOB vuông)
- Góc AIB = 90° (do OI vuông góc với DE)
- Góc AOC = 90° (do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOC vuông)
=> Tam giác AOB, AIB, AOC vuông tại O, I, C.
Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
AB² = AO² + OB²
AD² = AO² + OD²
AE² = AO² + OE²
=> AB² = AD . AE

c) Ta có:
- Đường thẳng MN song song với AB nên góc MNC = góc BAC = góc BAE (do MN song song với AB)
- Góc MNC = góc BAE = góc DAE (do DE // MN)
- Góc DAE = góc OAE = góc OCE (do AC // DE)
=> Tam giác OCE và OAE đồng dạng
=> OC/CE = OA/AE
=> OC = 1/2 CE
=> C là trung điểm của MN.