Cho tam giác ABC các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường tròn.

1. Ta có:
- Góc AFB = 90° (do AF là đường cao của tam giác ABC)
- Góc AEC = 90° (do AE là đường cao của tam giác ABC)
- Góc AFB + Góc AEC = 180° (do tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180°)
=> Tứ giác AFHE nội tiếp.
- Tứ giác BFEC nội tiếp tương tự.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là giao điểm của các đường cao của tam giác ABC, tức là H.

2. Ta có:
- Góc ADB = 90° (do AD là đường cao của tam giác ABC)
- Góc ACB = 90° (do AC là đường cao của tam giác ABC)
- Góc ADB + Góc ACB = 180° (do tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180°)
=> Tứ giác ABDC nội tiếp.
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABDC chính là tâm O.

3. Ta có:
- DH là đường thẳng đi qua tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABDC.
- Điểm I là điểm thứ hai của đường thẳng DH và cũng là điểm cắt của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
=> Điểm I nằm trên đường thẳng AH.

4. Do D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC, ta có DM = MC.
- Vậy ta có tứ giác AHIM là tứ giác cân.
- Góc AIM = Góc AHM (do tứ giác AHIM cân)
- Góc AIM = Góc AHB (cùng chắn cung AB trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
- Góc AHB = Góc ACB (cùng chắn cung AC trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
=> Góc AIM = Góc ACB
=> 5 điểm A, I, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.