Để M đạt giá trị nguyên, ta cần tìm giá trị của a sao cho M là một số nguyên.

Ta có công thức cho M: M = 4a / (a^2 + 4)

Để M là một số nguyên, ta cần phải có 4a chia hết cho a^2 + 4 hoặc a^2 + 4 chia hết cho 4a.

Xét trường hợp 1: 4a chia hết cho a^2 + 4
4a = k(a^2 + 4) với k là một số nguyên
4a = ka^2 + 4k
ka^2 - 4a + 4k = 0

Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần delta của phương trình là một số chính phương.
Delta = (-4)^2 - 4k*4k = 16 - 16k^2
16 - 16k^2 = t^2 với t là một số nguyên
16 = t^2 + 16k^2
16 = (t + 4k)(t - 4k)

Như vậy, ta cần tìm các cặp số nguyên (t, k) sao cho tích của chúng bằng 16. Từ đó, ta có thể tìm ra các giá trị của a tương ứng.

Xét trường hợp 2: a^2 + 4 chia hết cho 4a
a^2 + 4 = k*4a với k là một số nguyên
a^2 - 4ka + 4 = 0

Tương tự, ta cũng cần tìm các cặp số nguyên (t, k) sao cho tích của chúng bằng 16 để tìm ra các giá trị của a.

Tóm lại, để M đạt giá trị nguyên, ta cần tìm các giá trị của a sao cho thỏa mãn các điều kiện trên.