Câu 1:

a.) Ta có tam giác ABC là tam giác cân nên BD là đường phân giác của góc B, do đó BD chia AC thành hai đoạn bằng nhau. Vậy AD = DC = 10cm.

b.) Gọi E là giao điểm của đường vuông góc với BD tại B và AC kéo dài. Ta có tam giác ABC là tam giác cân nên BE là đường cao của tam giác ABC. Do đó, tam giác ABC vuông tại B. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC ta có:

AB² = AE² + BE²

15² = AE² + 10²

AE = 5cm

Vậy EC = AC - AE = 20 - 5 = 15cm

Câu 2:

a.) Ta có tam giác ABC không phải tam giác cân nên BD không phải là đường phân giác của góc A. Gọi H là hình chiếu từ A xuống BC. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cos(BAC)

25² = 15² + 20² - 2.15.20.cos(BAC)

cos(BAC) = -1/2

Do đó, tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi I là hình chiếu của D xuống BC. Ta có tam giác ABD và ACD là tam giác vuông tại D và C. Áp dụng định lý Pythagore ta có:

BD = AB.cos(BAC) = 15.(-1/2) = -7.5cm (vô lý)

Vậy ta không thể tính được độ dài BD và DC.

b.) Tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD là:

S(ABD)/S(ACD) = (1/2).AB.BD/(1/2).AC.DC = AB.BD/AC.DC = 15.BD/(20.DC) = 15.(-7.5)/(20.10) = -11.25

Vậy tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD là -11.25.