Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm M sao cho BM = 1/2 MC và trên CA lấy điểm N sao cho NC = 1/3 NA

Để giải bài toán này, ta cần vẽ đồ thị như sau:

\[
\begin{array}{c}
A \\
| \\
| \\
| \\
K \\
| \\
| \\
| \\
B \\
| \\
| \\
| \\
M \\
| \\
| \\
| \\
N \\
| \\
| \\
| \\
C
\end{array}
\]

a) Ta có:
\[
\begin{array}{l}
\frac{BM}{MC} = \frac{1}{2} \\
\frac{CN}{NA} = \frac{1}{3}
\end{array}
\]

Do đó, ta có thể tính được tỉ số diện tích giữa tam giác CMN và tam giác ABC:
\[
\frac{S_{CMN}}{S_{ABC}} = \frac{CM \cdot CN}{AB \cdot AC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
\]

Vì vậy, diện tích tam giác CMN là:
\[
S_{CMN} = \frac{1}{6} \cdot 48 = 8 \text{ cm}^2
\]

b) Ta có thể thấy rằng đoạn KA và KB là hai đoạn cắt của đường thẳng MN, nên ta có:
\[
\frac{KA}{KB} = \frac{MA}{MB} = \frac{1}{2}
\]

Vậy ta kết luận rằng đoạn KA bằng một nửa đoạn KB.