Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy E, trên AD lấy F sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc BF tại H, AH cắt DC và BC tại M, N

Để chứng minh các phần a) và b), ta sẽ sử dụng các bước sau:

a) Ta có AE = AF (đề bài cho), và AH vuông góc BF nên tam giác AEH và AFH đều vuông tại H. Do đó, ta có:
\(AE^2 + AH^2 = EH^2\) và \(AF^2 + AH^2 = FH^2\)

Nhưng AE = AF nên \(EH^2 = FH^2\), suy ra EH = FH. Vậy tam giác AEH và AFH đều vuông cân tại E và F, nên AE = AF = EH = FH.

Vậy hình chữ nhật AEMD được chứng minh.

b) Ta có diện tích tam giác BCH gấp 4 lần diện tích tam giác AEH, tức là:
\(\frac{1}{2} \times BC \times CH = 4 \times \frac{1}{2} \times AE \times EH\)
\(BC \times CH = 4 \times AE \times EH\)

Nhưng ta đã chứng minh được AE = EH, nên:
\(BC \times CH = 4 \times AE^2\)

Ta có \(BC = BM + MC\) và \(CH = AH - AC\), nên:
\((BM + MC) \times (AH - AC) = 4 \times AE^2\)

\(BM \times AH + MC \times AH - BM \times AC - MC \times AC = 4 \times AE^2\)

\(BM \times AH + MC \times AH = BM \times AC + MC \times AC + 4 \times AE^2\)

\(AH \times (BM + MC) = AC \times (BM + MC) + 4 \times AE^2\)

\(AH \times BC = AC \times BC + 4 \times AE^2\)

\(AH \times BC = AC \times BC + 4 \times AE^2\)

\(AH = AC + 4 \times AE\)

Vì AE = AF nên AH = AC + 4AF

Nhưng ta cũng có AH = AC + CH

Do đó, ta có: AC + CH = AC + 4AF

CH = 4AF

Vậy AC = 2EF, điều cần chứng minh.