a) Ta có:
\(\angle AMO = 90^\circ\) (do Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A)
\(\angle ACO = 90^\circ\) (do OC là bán kính của nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle AMO = \angle ACO\)
\( \Rightarrow \text{Tứ giác AMCO nội tiếp}\)

b) Ta có:
\(\angle MCD = \angle MCO\) (cùng chắn cung MC)
\(\angle MCO = \angle MAO\) (cùng chắn cung MO)
\(\angle MAO = \angle MBA\) (cùng chắn cung MA)
\(\angle MBA = \angle MBD\) (cùng chắn cung MB)
\( \Rightarrow \angle MCD = \angle MBD\)
\( \Rightarrow \triangle MCD \sim \triangle MBD\)
\( \Rightarrow MC^2 = MD \cdot MB\)

c) Gọi H là giao điểm của MB và CH. Ta có:
\(\angle MCH = \angle MCO\) (cùng chắn cung MC)
\(\angle MCO = \angle MAO\) (cùng chắn cung MO)
\(\angle MAO = \angle MBA\) (cùng chắn cung MA)
\( \Rightarrow \angle MCH = \angle MBA\)
\( \Rightarrow \triangle MCH \sim \triangle MBA\)
\( \Rightarrow \frac{MH}{MB} = \frac{CH}{AB} = \frac{CH}{2R}\)
\( \Rightarrow MB = \frac{CH}{2}\)
\( \Rightarrow \text{MB đi qua trung điểm của CH}\)

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c.