a) Góc BEC = góc BDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 

Xét ∆ABC có BE và CD là 2 đường cao cắt nhau tại H 

• H là trực tâm 

• AF là đường cao thứ ba 

• AF vuông góc với BC 

• Chứng minh : góc HEF = góc HCF

Chứng minh : tg HECF nội tiếp 

• Góc HEF = góc HCF 
   

  b) Ta có góc HEF = góc HCF (cmt) 

  Mà góc DEB = góc HCF ( cùng chắn cung BD ) 

• Góc HEF = góc DEB 

• EB là tia phân giác của góc DEF 

• Chứng minh : FB. FC = FO . FK 

  Xét tg KEF có EB là đường phân giác trong mà EC vuông góc với EB 

• EC là đường phân giác ngoài 

• BFBK=CFCK

• BFCF=BKCK=BF+BKCF+CK=FKCF+CK

• BFFK=CFCF+CK=CF-BFCF+CK-FK=OC+OF-(OB-OF)CF+CF=OFCF

• FB.FC = FO . FK 

•  

  Cách khác : 

  Chứng minh : tg OFE đồng dạng tg OEK 

• OE2 = OF . OK 

• OB2  = OF . OK 

• OB2 = OF . ( OF + FK )

• OB2 – OF 2 = FO. FK 

• ( OB + OF ) ( OB – OF ) = FO. FK

• FB . FC = FO .FK 
   

  c) Gọi N là giao điểm của OI và BJ , M là trung điểm của DE 

  *Chứng minh : tứ giác ADHE nội tiếp => góc BAH = góc BED

  *Chứng minh : tg BAH đồng dạng tg BED (g-g) 

  =>BHBD=AHED=2JH2DM=JHDM

  *Chứng minh : tg BJH đồng dạng tg BMD (c-g-c)

• Góc BJH = góc BMD (1)

• Chứng minh : tứ giác  BIMO nội tiếp 

• Góc BMD = góc BOI (2)

• Từ (1) và (2) suy ra góc BJH = góc BOI 

  Mà góc BJH + góc JBH = 900

  Suy ra góc BOI + góc JBH = 900

  Suy ra tg BNO vuông tại N hay OI vuông góc với BJ tại N

•