1) Gọi P là trung điểm của OM thì OP = PM = OM2OM2 (1)

ΔOAM vuông tại A có AP là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ AP = OM2OM2 (2)

ΔOBM vuông tại B có BP là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ BP = OM2OM2 (3)

ΔOHM vuông tại H có HP là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ HP = OM2OM2 (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: OP = PA = PM = PH = PB = OM2OM2

⇒ 5 điểm: O, A, M, B, H cùng thuộc đường tròn (P; OM2OM2) (đpcm)

2) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì MA = MB

mà OA = OB ⇒ OM là trung trực của AB

⇒ OM ⊥ AB (đpcm) ⇒ AI là đường cao của ΔOAM

ΔOAM vuông tại A có AI là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OA2OA2 = OI.OM hay OI.OM = R2R2 (đpcm)

c, ΔOKI và ΔOMH có:

ˆOO^ chung; ˆOIKOIK^ = ˆOHMOHM^

⇒ ΔOKI đồng dạng với ΔOMH

⇒ OIOKOIOK = OHOMOHOM 

⇒ OI.OM = OH.OK (đpcm)

d, Để OAEB là hình thoi thì AE = EB = R

⇔ ΔOAE đều hay ˆAOMAOM^ = 60o60o

⇔ OM = OAcos60oOAcos60o = 2.OA = 2.R

Vậy M ∈ d sao cho OM = 2.R thì tứ giác OAEB là hình thoi.