Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB

a) Ta có:
\(\angle PBM = \angle KMB\) (do BP // KM)
\(\angle QPM = \angle QPB + \angle BPM = \angle QPB + \angle KMB = \angle QPB + \angle PBM = \angle QPM\)
\(=> \angle QPM = \angle QME\)
Tương tự, ta có \(\angle QEM = \angle QPM\)
\(=> \angle QEM = \angle QME\)
Vậy tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
\(\angle AKN = \angle AKM + \angle MKN = \angle ABM + \angle MBK = \angle ABM + \angle KMB = \angle ABK\)
\(\angle BKM = \angle BKP + \angle PKM = \angle BPM + \angle KMB = \angle BPM + \angle PBM = \angle BPB\)
Vậy \(\angle AKN = \angle BKM\)
Tương tự, ta có \(AK = BK\) (đường tròn nửa đường kính)
Vậy \(\Delta AKN = \Delta BKM\) (cùng có góc, cạnh và góc)