Đây là một bài toán hình học khá thú vị. Chúng ta sẽ giải từng phần một:

a) Để chứng minh BK = CH, ta sử dụng tính chất của tam giác cân và đường trung tuyến:

• Tam giác ABE cân tại A (vì AE = AB) và BH là đường cao, nên BH cũng là đường trung tuyến. Do đó, BH = HE.
• Tương tự, tam giác ACE cân tại A (vì AE = AC) và CK là đường cao, nên CK cũng là đường trung tuyến. Do đó, CK = KE.
• Vì DE = DA và D là trung điểm của BC, nên BE = EC.
• Từ đó, ta có BK = BH + HK = HE + KE = CH.

b) Để chứng minh CD > KM, ta cần xem xét đến độ dài của các đoạn thẳng:

• CD là nửa độ dài của BC vì D là trung điểm của BC.
• KM là đường cao của tam giác ACD từ D.
• Vì AB < AC, tam giác ABC không cân tại A, do đó D không trùng với trực tâm của tam giác ABC. Như vậy, KM không phải là đường trung tuyến của tam giác ACD, và do đó KM < CD.

c) Để chứng minh D, H, N thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của đường trung trực:

• DE = DA nên E nằm trên đường trung trực của AD.
• P là điểm chung của đường trung trực của AD và BC, nên P cũng nằm trên đường trung trực của AD.
• N là giao điểm của BH và EP, và vì EP là đường trung trực của AD, nên N cũng nằm trên đường trung trực của AD.
• Vì D là trung điểm của BC, nó cũng nằm trên đường trung trực của AD.
• Như vậy, D, H, N đều nằm trên cùng một đường trung trực của AD, do đó chúng thẳng hàng.

d) Để chứng minh tam giác CEF là tam giác cân, ta sử dụng tính chất của tia phân giác và góc:

• F là điểm nằm trên tia phân giác của góc ACB, nên CF là tia phân giác của góc ACB.
• Vì góc ACB = 36°, nên góc FCB = 18°.
• E nằm trên tia đối của tia DA, và DE = DA, nên tam giác ADE cân tại D và góc AED = 72° (vì góc AED là góc ngoài của tam giác ADE).
• Góc AED chia làm hai phần bởi tia EC, với mỗi phần là 36°.
• Do đó, góc ECD = 36° - 18° = 18°.
• Vì góc ECD = FCB = 18°, tam giác CEF là tam giác cân tại C.