a.Ta có :

^COA=^ODB(+^DOB=90o)

→ΔAOC∼ΔBDO(g.g)

→AOBD=ACBO 

→AO.BO=AC.BD→AB2.AB2=AC.BD

→AB2=4AC.BD

b.Từ câu a

→ACOB=OCDO→ACAO=OCOD

→ΔACO∼ΔOCD(c.g.c)

→^ACO=^OCD→OC là phân giác ^ACD

Mà OA⊥CA,OM⊥CD→OM=OA→AC=CM

c.Chứng minh tương tự ta có DM=DB

Gọi BC∩AD=E→ACBD=CEEB=AEED=CMDM

→ME//AC→ME⊥AB=H

Lại có :
MEBD=CECB=AEAD=EHBD→EM=EH

→E là trung điểm MH

→BC đi qua trung điểm MH

d.Ta có :

SABDC=12.AB(AC+BD)=12.AB(CM+MD)=12.AB.CD≥12.AB.ABSABDC=12.AB(AC+BD)=12.AB(CM+MD)=12.AB.CD≥12.AB.AB

Dấu = xảy ra →CD=AB

Khi đó ABCD là hình chữ nhật CO=DO (do ΔACO=ΔBDO (AC=BD,góc vuông AO=BO))

⇒ΔCOD⊥ cân đỉnh O

⇒^OCD=45o

⇒^ACO=45o

⇒ΔAOC⊥ cân đỉnh A

→AC=AO.