Giải bài toán:

a) Ta có: Nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (b-1)(b+1) chia hết cho 24.

Để chứng minh điều này, ta sẽ chia ra các trường hợp:

• Nếu b chia hết cho 2: b = 2, ta thấy (2-1)(2+1) = 1*3 = 3 không chia hết cho 24.


• Nếu b chia hết cho 3: b = 3, ta thấy (3-1)(3+1) = 2*4 = 8 không chia hết cho 24.


• Nếu b chia hết cho 5: b = 5, ta thấy (5-1)(5+1) = 4*6 = 24 chia hết cho 24.


• Nếu b chia hết cho 7: b = 7, ta thấy (7-1)(7+1) = 6*8 = 48 chia hết cho 24.

Do đó, ta có thể kết luận rằng nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (b-1)(b+1) chia hết cho 24.

b) Cho b và 8b-18-1 là số nguyên tố, cần chứng minh rằng 8b+1 là hợp số.

Giả sử 8b+1 là số nguyên tố, ta có:

8b-18-1 = 8b+1-20 chia hết cho 8b+1 (do 8b-18-1 là số nguyên tố)

Điều này đồng nghĩa với việc 20 chia hết cho 8b+1.

Ta thấy 20 = 2*2*5 không chia hết cho 8b+1 với mọi giá trị của b.

Vậy giả thiết 8b+1 là số nguyên tố là sai, tức là 8b+1 là hợp số.