Tìm tất cả cặp số nguyên dương thỏa mãn; 2.x^5 - 1 chia hết cho y^4 và 2.y^5 + 1 chia hết cho x^4

Để giải bài toán này, ta sẽ giải hệ phương trình sau:

\(\begin{cases} 2x^5 - 1 \equiv 0 \pmod{y^4} \\ 2y^5 + 1 \equiv 0 \pmod{x^4} \end{cases}\)

Ta sẽ giải từng phương trình một:

1. Phương trình \(2x^5 - 1 \equiv 0 \pmod{y^4}\)

Ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng \(2x^5 \equiv 1 \pmod{y^4}\)

Do đó, \(x^5 \equiv 2^{-1} \pmod{y^4}\)

Với \(y^4\) là số chẵn, ta có \(2^{-1} \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{y^4}\)

Vậy phương trình trở thành \(x^5 \equiv 4 \pmod{y^4}\)

2. Phương trình \(2y^5 + 1 \equiv 0 \pmod{x^4}\)

Tương tự, ta có \(y^5 \equiv -\frac{1}{2} \pmod{x^4}\)

Do đó, phương trình trở thành \(y^5 \equiv -2 \pmod{x^4}\)

Sau khi giải xong hai phương trình trên, ta sẽ tìm được tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.