Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định, A là một điểm di động trên cung lớn BC

a) Ta có $\angle AFE = 90^\circ$ (do EF là đường cao của tam giác ABC) và $\angle AFB = 90^\circ$ (do AB là đường cao của tam giác ABC), nên tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\angle BAN = \angle BNC$ (cùng chắn cung BC), $\angle ABD = \angle ACN$ (do AB // NC), nên tam giác ABD ~ tam giác ACN (theo góc). Từ đó suy ra $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CN}$. Mà $\frac{AB}{AC} = \frac{AN}{NC}$ (do AD // BC theo định lí hình học), nên ta có $AN \cdot BD = AB \cdot NC$.

c) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC. Ta có $\angle AID = 90^\circ$ (do AD là đường đường cao của tam giác ADC), nên I nằm trên đường thẳng AD. Khi A di chuyển trên cung lớn BC, thì D và C cũng di chuyển theo, nên I cũng di chuyển theo một đường cố định, tức là I luôn thuộc một đường cố định.