Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AK của (O)

Để chứng minh các phần trên, ta thực hiện các bước sau:

1) Ta có tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp vì góc AHC và góc AEC là hai góc đối nhau nội tiếp trong hình chữ nhật AHCK.

2) Ta có:
- Góc AHE = 90 độ (vì AH là đường cao của tam giác ABC)
- Góc AKB = 90 độ (vì AK là đường kính của đường tròn (O))
- Góc AKB = Góc ACB (cùng chắn cung AK trên đường tròn (O))
- Góc ACB = Góc AEC (cùng chắn cung AC trên đường tròn (O))
Do đó, ta có HE // BK và AB. AE = AC. AH.

3) Ta có:
- M là trung điểm của BC nên BM = MC
- Góc AFB = 90 độ (vì AF là đường cao của tam giác ABC)
- Góc AFB = Góc AEB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (O))
- Góc AEB = Góc AHE (cùng chắn cung AE trên đường tròn (O))
Do đó, ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp AHEF.

Vậy, đã chứng minh được các phần đề bài.