Cho tâm giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường phân giác của BAH, CAH cắt BC lần lượt tại D và E

a) Chứng minh BAH = BCA:

Ta có:
- BAH là đường phân giác của góc BAC nên BAH = CAH.
- BCA là góc vuông nên BCA = 90°.

Vậy BAH = CAH = BCA, suy ra tam giác ABE cân tại B và tam giác ACD cân tại C.

b) Tính góc BIC:

Gọi x = BAC = BCA.
Ta có: BAI = IAC = x (do I là trung điểm của BC).
BIC = BAI + IAC = 2x.

Gọi y = ABC.
Ta có: ABE = ABC = y (do AE là đường phân giác của góc BAC).
DAE = DAB = y (do AD là đường phân giác của góc BAC).
DAB = DAE = y (do tam giác ADE cân tại A).

Vậy BIC = 180° - BAI - IAC = 180° - 2x = 180° - 2y = DAE.

c) Chứng minh I là giao điểm các đường trung trực của tam giác ADE:

Gọi M là trung điểm của DE.
Ta có: AM là đường trung tuyến của tam giác ADE nên IM song song với DE.
Vậy I là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ADE.

Bài 3:
a) Chứng minh DB là phân giác góc ADM:

Ta có: AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BM = MC.
Vậy BD là đường phân giác của góc ABC nên DB là phân giác của góc ADM.

b) Tính ACB:

Ta có: BC = 2AB.
Vậy ACB = 30° (do tam giác ABC vuông tại A và BC = 2AB).

c) Chứng minh CD = 2AD:

Gọi N là trung điểm của BC.
Ta có: AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AN song song với BC và AN = NC.
Vậy CD = 2AD (do tam giác ADC cân tại A và CN = NA).