Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AK của (O)

Để chứng minh các phần trên, ta có các bước sau:

1) Ta có góc AHC = 90 độ (do AH là đường cao của tam giác ABC), góc AEC = 90 độ (do AE vuông góc với CK), suy ra tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp.

2) Ta có góc AHE = góc ACB (cùng chắn cung trên cùng đường tròn (O)), góc ACB = góc ABK (cùng chắn cung trên cùng đường tròn (O)), suy ra góc AHE = góc ABK. Do đó, ta có HE // BK.

Ta cũng có góc AHE = góc ACB = góc CAB (do tam giác ABC là tam giác nhọn), suy ra AB // HE.

Vậy ta có HE // BK và AB // HE.

Ta có góc AEC = góc ACB = góc CAB = góc CAE, suy ra AE = AC.

Vì tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp, nên ta có góc AHE = góc ACE = góc ACB = góc CAB = góc CAE, suy ra AH = AE.

Vậy ta có AB = HE = AE = AC = AH.

3) Ta có M là trung điểm của BC, suy ra BM = CM.

Góc AFE = góc ABC (cùng chắn cung trên cùng đường tròn (O)), góc ABC = góc AHC (cùng chắn cung trên cùng đường tròn (O)), góc AHC = góc AHE (do tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp), suy ra góc AFE = góc AHE.

Vậy ta có tứ giác AHEF là tứ giác cân tại A, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp AHEF.

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần cần thiết.