Chứng minh PN là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

a) Ta có:
- $\angle APQ = 90^\circ$ (do $PQ$ vuông góc với $AM$)
- $\angle ANQ = \angle AMQ = \angle ABM$ (cùng chắn cung $AM$)
- $\angle AQB = \angle AMB = 90^\circ$ (tứ giác $AMQB$ nội tiếp)
Vậy tứ giác $APQN$ nội tiếp.

Ta có:
- $\angle BAN = \angle BAM = \angle QAM = \angle QPM$ (cùng chắn cung $AM$)
- $\angle PQB = 90^\circ$ (điều phải chứng minh)
Vậy ta có $BAN = PQB$.

b) Ta có:
- $\angle PNB = \angle PNA = \angle PQA = 90^\circ$ (do $PQ$ vuông góc với $AM$)
Vậy $PN$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$.