Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C; D là hai điểm di động trên nửa đường tròn sao cho C thuộc cung AD và COD = 60° (C + A; D = B ). Gọi M là giao điểm của tia AC và BD, N là giao điểm của AD và BC

a) Ta có:
\(\angle CMD = \angle CMO + \angle DMO = \angle CAO + \angle DBO = \angle CAD + \angle DBA = 180^\circ - \angle CDA = 180^\circ - \angle CNA = \angle CNM\)
Vậy tứ giác CMDN nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle CPD = \angle APD + \angle APC = \angle ABD + \angle ACD = \angle ABD + \angle ABC = 60^\circ\)
Do đó, CP = DQ.
Từ đó, ta có:
\(AP + BQ = AC + BD = 2R\sqrt{3}\)

c) Ta có:
\(\angle HMI = \angle HMC + \angle CMI = \angle HCD + \angle CND = \angle HCD + \angle CAD = 90^\circ\)
Vậy ba điểm H, I và O thẳng hàng.

Để tìm diện tích lớn nhất của tam giác MCD, ta cần tìm điểm C và D sao cho \(CD = 2R\) và \(\angle COD = 60^\circ\). Khi đó, diện tích tam giác MCD sẽ là \(R^2\sqrt{3}\).