a) Do MB, MC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ^OBM=^OCM=900

Xét tứ giác MBOC có: ^OBM+^OCM=1800 suy ra tứ giác MBOC là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tam giác FBD và tam giác FEC có:

^BFD=^EFC(dd)

^FDB=^FCE ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

⇒ΔFBD∼ΔFEC(g−g)⇒FBFE=FDFC⇒FD.FE=FB.FC(1)

Ta có AB// ME suy ra ^BAC=^DIC

Mà ^BAC=^MBC(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

⇒^DIC=^MBC⇒^MBF=^CIF

Xét tam giác FBM và tam giác FIC có:

^BFM=^IFC (đđ)

^MBF=^CIF(cmt)

⇒ΔFBM∼ΔFIC(g−g)⇒FBFI=FMFC⇒FI.FM=FB.FC(2)

Từ (1) và (2) ⇒FI.FM=FD.FE(3)

c) Xét tam giác FDK và tam giác FQE có:

^KFD=^EFQ (đđ)

^FKD=^FEQ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung DQ)

⇒ΔFKD∼ΔFEQ(g−g)

⇒FKFE=FDFQ⇒FD.FE=FK.FQ(4)

Từ (3) và (4) ⇒FI.FM=FK.FQ⇔FMFQ=FKFI

Xét tam giác FMQ và tam giác FKI có:

FMFQ=FKFI(cmt)

^MFQ=^KFI

⇒ΔFMQ∼ΔFKI(c−g−c)⇒^FMQ=^FKI

Suy ra tứ giác KIQM là tứ giác nội tiếp

⇒^MQK=^MIQ(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MQ)

Ta có ^MBF=^CIF⇒^MBC=^MIF suy ra tứ giác MBIC là tứ giác nội tiếp

Mà MOBC là tứ giác nội tiếp nên M, B, O, I, C cùng thuộc 1 đường tròn.

Ta có ^OBM=900 suy ra OM là đường kính của đường tròn đi qua 5 điểm M, B, O, I, C.

Suy ra ^OIM=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒IM⊥OI⇒^MIQ=900

⇒^MKQ=^MIQ=900

Lại có ^QKP=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ đó ta có: ^MKP=^MKQ+^QKP=1800

Vậy 3 điểm P, K, M thẳng hàng.