Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý Bézout và định lý Fermat như sau:

Định lý Bézout: Nếu a và b là hai số nguyên không âm và không đồng thời bằng 0, thì tồn tại số nguyên x và y sao cho ax + by là ước chung lớn nhất của a và b.

Định lý Fermat: Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ta có 2x^5 - 1 chia hết cho y^4, nghĩa là tồn tại số nguyên k sao cho 2x^5 - 1 = ky^4.
Tương tự, ta có 2y^5 + 1 chia hết cho x^4, nghĩa là tồn tại số nguyên m sao cho 2y^5 + 1 = mx^4.

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
2x^5 - 1 = ky^4
2y^5 + 1 = mx^4

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
2x^5 ≡ 1 (mod y^4)
2x^5 ≡ 1 (mod 2)
x^5 ≡ 1 (mod y^4)

Từ định lý Fermat, ta có:
x^(y^4-1) ≡ 1 (mod y^4)

Do đó, x^4 ≡ 1 (mod y^4)
Tương tự, ta cũng có y^4 ≡ 1 (mod x^4)

Kết hợp với phương trình thứ hai, ta có:
2y^5 + 1 ≡ 0 (mod x^4)
2y^5 ≡ -1 (mod x^4)
y^5 ≡ -1/2 (mod x^4)

Từ đây, ta có thể thử các cặp số nguyên dương (x, y) để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn cả hai điều kiện trên hay không.