Chứng minh rằng CN là tiếp tuyến của (O)

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học liên quan đến đường tròn và các đường thẳng.

**a) Chứng minh rằng OM // AB:**

1. **Xác định một số điểm và cấu trúc hình:**
- Đường tròn (O) có đường kính BC, nên trung điểm O là tâm của đường tròn.
- Điểm A thuộc đường tròn (O).
- H là trung điểm của AC, tức là \( H = \frac{A + C}{2} \).
- Tia OH cắt đường tròn tại M.

2. **Chứng minh rằng góc \( AOM \) và \( BAH \) bằng nhau:**
- Bởi vì góc ở tâm \( AOM \) bằng với góc \( ABH \) (góc nội tiếp nhìn vào cung AB). Do đó, \( \angle AOM = \angle BAH \).
- Từ việc này, ta có mối quan hệ \( \angle AOM = \angle ABN \) (N là giao điểm của tiếp tuyến tại A với OM).

3. **Do đó, ta có:**
- Nếu \( \angle AOM = \angle BAH \) và \( AB \) cắt OM tại N, theo định nghĩa về góc đồng vị, ta có \( OM // AB \).

**b) Chứng minh rằng CN là tiếp tuyến của (O):**

1. **Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến:**
- Để chứng minh CN là tiếp tuyến của đường tròn (O), chúng ta cần phải chỉ ra rằng góc \( \angle ACN = \angle OAN \) (góc giữa tiếp tuyến và dây vẽ đến tiếp điểm).

2. **Từ O là tâm đường tròn (O), góc AON sẽ bằng 90 độ:**
- Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại A tức là góc AOM là góc ở tâm.
- Do \( H \) là trung điểm của \( AC \), nên \( OH \) là đường trung bình của tam giác \( AOC \).
- Hơn nữa, do \( O \) là trung điểm của BC, cho nên OH và AC sẽ tạo thành góc 90 độ.

3. **Cuối cùng:**
- Từ góc \( \angle OAN = 90 \) và \( \angle OAC = 90 \) cho thấy rằng CN vuông góc với OA.
- Do đó, CN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng CN là tiếp tuyến của (O) và OM // AB theo các bước logic trong cấu trúc hình học của vấn đề.