Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC. Qua C vẽ đường thẳng song song với AB. Hai đường thẳng này cắt nhau tại D. BD cắt AC tại B'

Để chứng minh điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Định lí trung bình tỉ lệ: Trong tam giác, đường thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện là song song với cạnh đó và bằng một nửa cạnh đó.

2. Định lí Ceva: Trong một tam giác ABC, ba đường cao từ ba đỉnh đều cắt nhau tại một điểm duy nhất (trọng tâm).

3. Định lí Menelaus: Trong một tam giác ABC, nếu ba điểm M, N, P nằm trên ba cạnh tương ứng và thỏa mãn điều kiện MN/PN * NP/PB * BP/MB = 1 thì ba đường thẳng đi qua ba điểm đó sẽ đồng quy.

Bây giờ ta sẽ chứng minh từng phần:

a. Ta có B' là trung điểm của AC:
Theo định lí trung bình tỉ lệ, ta có BD song song với CC' và BD = DC. Do đó, ta có B là trung điểm của AC.

b. Ta có AC' = CM = BC':
Theo định lí trung bình tỉ lệ, ta có B'C' song song với BC và B'C' = 1/2 BC. Do đó, ta có AC' = CM = BC'.

c. Ta có AA', BB', CC' đồng quy:
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua ba điểm A', B', C' ta có:
AB'/B'C' * CC'/CA * AA'/A'B = 1
Vì B' là trung điểm của AC nên AB'/B'C' = 1, và vì AC' = CM = BC' nên CC'/CA = 1 và AA'/A'B = 1.
Do đó, ta có AA', BB', CC' đồng quy.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.