Cho ΔABC nhọn ( AB

a, Ta có:
\(\angle BDC = 90^\circ\) (do BD là đường cao của tam giác ABC)
\(\angle BFC = 90^\circ\) (do CF là đường cao của tam giác ABC)
Vậy tứ giác BCDF là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b, Ta có:
\(\angle BFI = \angle BAI = \angle BAC = \angle BFC\)
Vậy 4 điểm H, I, F, C thẳng hàng.

c, Ta có:
\(\angle KDA = \angle BDA = \angle BCA = \angle BFA = \angle BFI = \angle BDI = \angle KDI\)
Vậy tam giác KDA đồng dạng với tam giác KDI.
Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
\(\frac{DK}{DA} = \frac{DI}{DM}\)
\(\Rightarrow (DK)^2 = (DA)^2 \cdot \frac{DI}{DM} = (DA)^2 \cdot \frac{DI}{DI + IM} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{IM}{DI}} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{DM}{DI}} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{DM}{DI}}} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{DA}{DK}}} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{DK}{DA}}}} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{(DK)^2}}}} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{1}{(DK)^2}}} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + (DK)^2} = (DA)^2 \cdot \frac{1}{1 + (DA)^2} = \frac{(DA)^2}{(DA)^2 + 1}\)
Vậy \((DK)^2 = \frac{(DA)^2}{(DA)^2 + 1}\)