Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Trong tam giác cân, đường cao cũng là đường trung tuyến.
2. Trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường trung tuyến.

a) Ta có tam giác ABC cân tại A nên BD là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = MC, tức M là trung điểm của BC.

b) Ta có tam giác MED cân tại M vì M là trung điểm của BC. Ngoài ra, ta cũng có ME = MD vì hai đường cao trong tam giác cân bằng nhau. Vậy tam giác MED là tam giác cân.

c) Gọi H là giao điểm của tia phân giác của góc BHC với BC. Ta cần chứng minh AH là tia phân giác của góc BHC.
Ta có:
$\angle{BHD} = \angle{CHD}$ (vì tam giác BHD và CHD đều vuông)
$\angle{BHD} = \angle{AHD}$ (vì BD là đường cao của tam giác ABC)
$\angle{CHD} = \angle{AHD}$ (vì CE là đường cao của tam giác ABC)
Vậy ta có $\angle{BHC} = 2\angle{AHD}$, tức AH là tia phân giác của góc BHC.