Ta có:
- $\widehat{MCD} = 90^{\circ}$ (vì AB, CD là hai đường kính của đường tròn (O)).
- $\widehat{MBS} = \widehat{MCS} = 90^{\circ}$ (do BS là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M).
- $\widehat{MBC} = \widehat{MDC}$ (cùng chắn cung MC).
- $\widehat{MIB} = \widehat{MCD} = 90^{\circ}$ (do IB là đường cao của tam giác MCD).
- $\widehat{MKB} = \widehat{MAB} = \widehat{MCB}$ (cùng chắn cung MC).

Từ đó, ta có:
- $\triangle MIB \sim \triangle MCD$ (có 1 góc vuông và 1 góc nhọn bằng nhau).
- $\triangle MKB \sim \triangle MCB$ (có 2 góc bằng nhau).
- $\frac{MK}{MB} = \frac{MC}{MD}$ (do $\triangle MKB \sim \triangle MCB$).
- $\frac{MB}{MI} = \frac{MC}{MD}$ (do $\triangle MIB \sim \triangle MCD$).
- $\frac{MK}{MI} = \frac{MB}{MI} \cdot \frac{MK}{MB} = \frac{MC}{MD}$.
- $\frac{MK}{MI} = \frac{MC}{MD}$.

Vậy ta có $DK.DM = MK.MI = MC.MI = MD.MC$, suy ra DK.DM không phụ thuộc vào vị trí của M.