a) Ta có CE = AF và AE // BF nên tam giác AEF và CEF đồng dạng. Do đó, ta có:
$\dfrac{CE}{AF} = \dfrac{CF}{AE} = \dfrac{CF}{CF + a}$
$\Rightarrow CF = \dfrac{a^2}{a + 2CF}$
$\Rightarrow CF^2 + aCF - a^2 = 0$
$\Rightarrow CF = \dfrac{-a + \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \dfrac{-a + a\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow CM = a - CF = \dfrac{a + a\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow DN = a - CM = \dfrac{a - a\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow CM \cdot DN = \dfrac{a + a\sqrt{5}}{2} \cdot \dfrac{a - a\sqrt{5}}{2} = \dfrac{a^2(5 - 1)}{4} = a^2$

b) Ta có $\widehat{MKN} = \widehat{MKB} + \widehat{BKN} = \widehat{MAB} + \widehat{BAN} = 90^\circ$

c) Để MN có độ dài nhỏ nhất, ta cần chọn E và F sao cho MN càng gần với đường chéo AC của hình vuông ABCD. Khi đó, ta có MN = AC = a.