Cho parabol y = x²/2t đường thẳng d đi qua điểm i0;2 và hệ số góc k a..

Để chứng minh tam giác IHK vuông tại I, ta cần chứng minh rằng đường thẳng DH vuông góc với đường thẳng IK.

Gọi A(x1, x1^2/2t), B(x2, x2^2/2t) là hai điểm cắt của đường thẳng d với parabol y = x^2/2t. Ta có phương trình của đường thẳng d là y = kx + 2 - 2k.

Để tìm x1 và x2, ta giải hệ phương trình giữa đường thẳng d và parabol y = x^2/2t:
x^2/2t = kx + 2 - 2k
x^2 = 2tkx + 4t - 4kt
x^2 - 2tkx - 4t + 4kt = 0

Để D cắt P tại hai điểm phân biệt A và B, ta có điều kiện delta > 0:
delta = (2tk)^2 - 4(4t - 4kt) > 0
4t^2k^2 - 16t + 16kt > 0
t^2k^2 - 4t + 4kt > 0
t^2k^2 + 4kt - 4t > 0
t(k^2 + 4k - 4) > 0

Điều này suy ra k^2 + 4k - 4 > 0. Ta có delta' = 4^2 - 4*(-4) = 32 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
k1 = (-4 + sqrt(32))/2 = -2 + 2sqrt(2)
k2 = (-4 - sqrt(32))/2 = -2 - 2sqrt(2)

Vậy hệ số góc k có hai giá trị -2 + 2sqrt(2) và -2 - 2sqrt(2) để đường thẳng d cắt parabol y = x^2/2t tại hai điểm phân biệt A và B.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng đường thẳng DH vuông góc với đường thẳng IK. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng đường thẳng DH có hệ số góc âm nghịch của hệ số góc của đường thẳng IK.

Hệ số góc của đường thẳng IK là k, hệ số góc của đường thẳng DH là -1/k (do DH vuông góc với IK). Vậy ta cần chứng minh rằng -1/k = -2 + 2sqrt(2) hoặc -1/k = -2 - 2sqrt(2).

Nếu -1/k = -2 + 2sqrt(2), ta có k = 1/(2 - 2sqrt(2)) = 1/(2 - 2sqrt(2)) * (2 + 2sqrt(2))/(2 + 2sqrt(2)) = (2 + 2sqrt(2))/(4 - 8) = -(1 + sqrt(2))/2.
Nếu -1/k = -2 - 2sqrt(2), ta có k = 1/(2 + 2sqrt(2)) = 1/(2 + 2sqrt(2)) * (2 - 2sqrt(2))/(2 - 2sqrt(2)) = (2 - 2sqrt(2))/(4 - 8) = (1 - sqrt(2))/2.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tam giác IHK vuông tại I.