1. Để chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt, ta cần xét điều kiện để hệ phương trình y=x^2 và y=2x+|m|+1 có nghiệm.

Để hệ phương trình có nghiệm, ta cần xét điều kiện tồn tại x sao cho x^2 = 2x + |m| + 1.

Đặt f(x) = x^2 - 2x - |m| - 1. Ta cần xét điều kiện tồn tại x sao cho f(x) = 0 có nghiệm.

Để f(x) = 0 có nghiệm, ta cần xét Δ = b^2 - 4ac ≥ 0 với a = 1, b = -2, c = -|m| - 1.

Δ = (-2)^2 - 4*1*(-|m| - 1) = 4 + 4|m| + 4 = 4(|m| + 1) ≥ 0

Vậy điều kiện để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt là |m| ≥ -1.

2. Để tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn |x1x2| + |x2| - |x1| = 8, ta cần giải hệ phương trình y = x^2 và y = 2x + |m| + 1.

Gọi x1, x2 là hoành độ của 2 điểm cắt nhau, ta có hệ phương trình:
x1^2 = 2x1 + |m| + 1
x2^2 = 2x2 + |m| + 1
|x1x2| + |x2| - |x1| = 8

Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được giá trị của m và x1, x2.