1. Ta có: $\angle OAI = \angle OMA$ (cùng nằm trên cùng cạnh) và $\angle OIA = \angle OAM$ (do IA là tiếp tuyến của đường tròn). Do đó, tứ giác MAIO nội tiếp.

2. Ta có: $\angle IAM = \angle OMA = \angle OAI$ và $\angle IBM = \angle OMB = \angle OBI$. Do đó, hai tam giác IAM và IBM đồng dạng. Từ đó, ta có $\frac{IA}{IB} = \frac{AM}{BM}$.

Gọi T là giao điểm của AB với MI, ta có $\frac{TA}{TB} = \frac{AM}{BM}$. Kết hợp với $\frac{IA}{IB} = \frac{AM}{BM}$, suy ra $IA \cdot TB = IB \cdot TA$. Từ đó, ta có $IA/IB = TA/TB$.

3. Để tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MA + MB. Ta có: MA + MB = 2MI. Vậy để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của MI, tức là MI = IA = IB.

Do đó, để diện tích MAOB đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần chứng minh rằng tứ giác MAOB là hình vuông.

Kết hợp với điều kiện IA = IB, ta có $\angle IAB = \angle IBA$. Tương tự, ta cũng có $\angle IBA = \angle IAO$. Do đó, $\angle IAB = \angle IAO$, từ đó suy ra tứ giác MAOB là hình vuông.

Vậy giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích MAOB nhỏ nhất đạt được khi tứ giác MAOB là hình vuông.