Để giải phương trình $x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0$, ta có thể sử dụng phương pháp chia nhỏ đa thức.

Đầu tiên, ta thấy rằng $x = 1$ là một nghiệm của phương trình. Do đó, ta có thể chia đa thức cho $(x - 1)$ để tìm các nghiệm còn lại.

Chia $(x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x - 1)$ cho $(x - 1)$ ta được:
$(x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x - 1) = (x - 1)(x^3 + 3x^2 + 4x + 1)$

Tiếp tục chia $(x^3 + 3x^2 + 4x + 1)$ cho $(x - 1)$ ta được:
$(x^3 + 3x^2 + 4x + 1) = (x - 1)(x^2 + 4x + 1)$

Dễ dàng giải phương trình bậc hai $(x^2 + 4x + 1) = 0$ ta có hai nghiệm phức là:
$x = -2 \pm \sqrt{3}$

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là $x = 1, x = -2 + \sqrt{3}, x = -2 - \sqrt{3}$.