B=2x2+4y2+4xy+2x+4y+2025

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng thành phần trong biểu thức.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của 2x^2 + 2x, ta có thể hoàn thành vuông đối với phần tử bậc hai:

2x^2 + 2x = 2(x^2 + x) = 2(x^2 + x + 1/4 - 1/4) = 2[(x + 1/2)^2 - 1/4] = 2(x + 1/2)^2 - 1/2

Do đó, giá trị nhỏ nhất của 2x^2 + 2x là -1/2 khi x = -1/2.

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của 4y^2 + 4y, ta có:

4y^2 + 4y = 4(y^2 + y) = 4(y^2 + y + 1/4 - 1/4) = 4[(y + 1/2)^2 - 1/4] = 4(y + 1/2)^2 - 1

Do đó, giá trị nhỏ nhất của 4y^2 + 4y là -1 khi y = -1/2.

Kết hợp hai kết quả trên, ta có:

B = 2x^2 + 4y^2 + 4xy + 2x + 4y + 2025
= 2(x + 1/2)^2 - 1/2 + 4(y + 1/2)^2 - 1 + 4xy + 2x + 4y + 2025
= 2(x + 1/2)^2 + 4(y + 1/2)^2 + 4xy + 2x + 4y + 2024

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng thành phần. Tuy nhiên, không thể tìm giá trị nhỏ nhất của 4xy mà không biết giá trị của x và y.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B phụ thuộc vào giá trị của x và y.