Để giải bài toán này, ta cần tìm số nguyên dương n sao cho n+1, 2n+1 và 5n+1 đều là số chính phương.

Gọi x là căn bậc hai của n+1, y là căn bậc hai của 2n+1 và z là căn bậc hai của 5n+1.

Ta có hệ phương trình sau:
x^2 = n + 1
y^2 = 2n + 1
z^2 = 5n + 1

Từ đó, ta có:
n = x^2 - 1
n = (y^2 - 1) / 2
n = (z^2 - 1) / 5

Do đó, ta có:
x^2 - 1 = (y^2 - 1) / 2
2x^2 - 2 = y^2 - 1
y^2 = 2x^2 - 1

x^2 - 1 = (z^2 - 1) / 5
5x^2 - 5 = z^2 - 1
z^2 = 5x^2 + 4

Từ hai phương trình trên, ta có:
2x^2 - 1 = 5x^2 + 4
-3x^2 = 5
x^2 = -5/3

Vì x là số nguyên dương, nên không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện đề bài.