1) Ta có:
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OA vuông góc AB và OA vuông góc AC.
- Do đó, O là trung điểm của cung BC nằm trong góc BAC.
- Vậy, 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn có tâm M là trung điểm của BC.

2) Ta có BF//DE nên theo định lí cắt tuyến, ta có:
$\frac{FI}{IE} = \frac{FB}{BD} = \frac{FC}{CD}$
Vì BF//DE nên ta có $\angle FBD = \angle EDA$ và $\angle FDB = \angle EAD$
Do đó, tam giác FBD và tam giác EDA đồng dạng.
Vậy, ta có $\frac{FI}{IE} = \frac{FD}{DA} = \frac{FB}{BD} = \frac{FC}{CD}$
Suy ra, I là trung điểm của DE.

3) Ta có $\angle GED = \angle GBC$ và $\angle GDE = \angle GCB$
Do đó, tam giác GED và tam giác GBC đồng dạng.
Vậy, ta có $\frac{GE}{BC} = \frac{ED}{GC}$
Mà ta đã có $\frac{FI}{IE} = \frac{FD}{DA}$
Kết hợp với $BC = BD + DC$ ta có $\frac{GE}{BD + DC} = \frac{ED}{GC}$
Suy ra, $AD.GE = ID.GA$