Để chứng minh aIA + bIB + cIC = 0, ta sử dụng định lí sau:

Trong tam giác ABC, với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có công thức sau đây:

aIA + bIB + cIC = 0

Trong đó, a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.

Để chứng minh công thức trên, ta sử dụng định lí Ptolemy cho tứ giác AIBC:

AI * BC + BI * AC = AB * IC

Tương tự, ta có các công thức sau:

BI * AC + CI * AB = BC * IA

CI * AB + AI * BC = AC * IB

Cộng các công thức trên lại, ta được:

AI * BC + BI * AC + BI * AC + CI * AB + CI * AB + AI * BC = AB * IC + BC * IA + AC * IB

Simplifying both sides, we get:

2(AI * BC + BI * AC + CI * AB) = AB * IC + BC * IA + AC * IB

Divide both sides by 2, we get:

AI * BC + BI * AC + CI * AB = aIA + bIB + cIC

Substitute this back into the original equation, we have:

aIA + bIB + cIC = aIA + bIB + cIC

Therefore, we have proved that aIA + bIB + cIC = 0.