Tìm vận tốc ban đầu của viên đạn

Để tìm vận tốc ban đầu của viên đạn, ta sử dụng nguyên lý bảo toàn năng lượng.

Ban đầu, năng lượng của viên đạn chỉ bao gồm năng lượng động học:
\(E_{\text{ban đầu}} = \frac{1}{2}m_{\text{đạn}}v_{0}^{2}\)

Sau khi viên đạn chui vào bao cát, năng lượng của hệ thống bao gồm năng lượng động học và năng lượng tiềm năng:
\(E_{\text{kết thúc}} = \frac{1}{2}(m_{\text{đạn}} + m_{\text{cát}})v^{2} + (m_{\text{đạn}} + m_{\text{cát}})g\Delta h\)

Với \(\Delta h\) là độ lệch của hệ thống so với vị trí cân bằng, ta có:
\(\Delta h = l(1 - \cos{60^{\circ}}) = l(1 - \frac{1}{2}) = \frac{l}{2}\)

Đặt \(m_{\text{đạn}} = 0.1kg\), \(m_{\text{cát}} = 10kg\), \(l = 1m\), \(g = 9.8m/s^{2}\), ta có:
\(E_{\text{ban đầu}} = E_{\text{kết thúc}}\)
\(\frac{1}{2}(0.1)v_{0}^{2} = \frac{1}{2}(0.1 + 10)v^{2} + (0.1 + 10)9.8\frac{l}{2}\)
\(0.05v_{0}^{2} = 0.05v^{2} + 0.05v^{2} + 49\)
\(0.05v_{0}^{2} = 0.1v^{2} + 49\)
\(v_{0}^{2} = 2v^{2} + 980\)
\(v_{0} = \sqrt{2v^{2} + 980}\)

Do vận tốc ban đầu của viên đạn là v, ta có:
\(v_{0} = \sqrt{2v^{2} + 980} = v\)

Vậy vận tốc ban đầu của viên đạn là \(v = \sqrt{980} \approx 31.3 m/s\).