a) Chứng minh BM = CN:
- Gọi I là giao điểm của DM và EN.
- Ta có: BD = CE (theo đề bài).
- Ta cũng có: ∠BDM = ∠CEN (do BD = CE và ∠BDC = ∠CEB).
- Vì tam giác ABC cân tại A nên ∠BAC = ∠BCA.
- Khi đó, ta có: ∠BDM = ∠CEN = ∠BAC = ∠BCA.
- Vậy, tam giác BDM và tam giác CEN đồng dạng.
- Do đó, ta có: BM/NC = BD/CE = 1.
- Từ đó suy ra BM = CN.
b) Chứng minh BC < MN: - Ta có: ∠BDM = ∠CEN = ∠BAC = ∠BCA.
- Vậy, ta có: ∠BDM + ∠CEN = ∠BAC + ∠BCA = 180°.
- Khi đó, tứ giác BMCI là tứ giác nội tiếp.
- Tương tự, tứ giác CENI cũng là tứ giác nội tiếp.
- Do đó, ta có: ∠BMC + ∠CNI = 180°.
- Vậy, BCNM là tứ giác nội tiếp.
- Từ đó, ta có: BC < MN (do BC là cạnh nhỏ nhất của tứ giác nội tiếp).
Vậy, ta đã chứng minh được rằng BM = CN và BC < MN.