Để chứng minh rằng đa thức \( q(x) = 3x^4 + 2x^2 + \frac{5}{3} \) không có nghiệm, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử đa thức \( q(x) \) có nghiệm, tức là tồn tại một số thực \( a \) sao cho \( q(a) = 0 \).

Thay \( x = a \) vào đa thức \( q(x) \), ta có:

\[ q(a) = 3a^4 + 2a^2 + \frac{5}{3} = 0 \]

Điều này đồng nghĩa với việc phương trình \( 3a^4 + 2a^2 + \frac{5}{3} = 0 \) có nghiệm \( a \).

Để chứng minh rằng phương trình trên không có nghiệm, ta sẽ chứng minh rằng đa thức \( 3a^4 + 2a^2 + \frac{5}{3} \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực \( a \).

Đa thức \( 3a^4 + 2a^2 + \frac{5}{3} \) có dạng một đa thức bậc 4 với hệ số của \( a^4 \) là 3, hệ số của \( a^2 \) là 2 và hệ số tự do là \( \frac{5}{3} \).

Để chứng minh rằng đa thức này luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực \( a \), ta sẽ chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm tại mọi điểm cực trị.

Để tìm điểm cực trị của đa thức \( 3a^4 + 2a^2 + \frac{5}{3} \), ta sẽ tính đạo hàm của đa thức này:

\[ q'(a) = 12a^3 + 4a \]

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( q'(a) = 0 \):

\[ 12a^3 + 4a = 0 \]

\[ 4a(3a^2 + 1) = 0 \]

\[ a = 0 \] hoặc \( a = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \)

Để xác định tính chất của điểm cực trị, ta sẽ sử dụng đạo hàm bậc 2:

\[ q''(a) = 36a^2 + 4 \]

Đánh giá giá trị của \( q''(0) \), \( q''(\sqrt{\frac{1}{3}}) \) và \( q''(-\sqrt{\frac{1}{3}}) \), ta có:

\[ q''(0) = 4 > 0 \]

\[ q''(\sqrt{\frac{1}{3}}) = 36\left(\frac{1}{3}\right) + 4 = 16 > 0 \]

\[ q''(-\sqrt{\frac{1}{3}}) = 36\left(\frac{1}{3}\right) + 4 = 16 > 0 \]

Vậy ta thấy rằng đa thức \( 3a^4 + 2a^2 + \frac{5}{3} \) không có điểm cực trị và do đó không có nghiệm.

Vậy ta kết luận rằng đa thức \( q(x) = 3x^4 + 2x^2 + \frac{5}{3} \) không có nghiệm.