Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có:

- Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có: $\angle BAC = \angle BEC$ và $\angle ABC = \angle AFC$.
- Ta cũng có: $\angle BIC = 90^\circ$ (vì I là trung điểm của BC) nên $\angle BHC = 180^\circ - \angle BIC = 90^\circ$.
- Từ đó suy ra BCEH là tứ giác nội tiếp.
- Tương tự, ta cũng có CFHE là tứ giác nội tiếp.
- Vậy BCEF là tứ giác nội tiếp.

Tiếp theo, ta chứng minh EF // E'F':

- Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF, N là trung điểm của đoạn thẳng E'F'.
- Ta có: $\angle E'OF' = 2\angle E'CF' = 2\angle ECF = 2\angle EMF = \angle EOF$.
- Vậy ta có E'OF' và EOF là hai cung cùng thuộc đường tròn (O) nên ta có EF // E'F'.

Vậy ta đã chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp và EF // E'F'.