Cho parabol (P): y=x^2 và đường thẳng (d): y= 2x+m^2+1 (m là tham số)

Để tìm các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta cần giải hệ phương trình giữa đường thẳng (d) và parabol (P).

Thay y=x^2 vào phương trình của đường thẳng (d), ta có:
x^2 = 2x + m^2 + 1
⇔ x^2 - 2x - m^2 - 1 = 0

Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, ta cần phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2. Điều này có nghĩa là đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình trên có delta lớn hơn 0.

Ta có delta = (-2)^2 - 4*1*(-m^2-1) = 4 + 4m^2 + 4 = 4(m^2 + 1)

Đề bài yêu cầu x1^2 + x2^2 = 14, suy ra x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (2)^2 - 2*(-1) = 6

Từ đó, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = -1

Vậy, ta có hệ phương trình:
{
x1 + x2 = 2
x1x2 = -1
}

Giải hệ phương trình trên, ta được x1 = 1 và x2 = -1

Do đó, x1^2 + x2^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2 ≠ 14

Vậy, không tồn tại giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 = 14.