a) Ta có:
Góc ABH = góc ACK (do đường cao là đường cao cùng hạt của tam giác ABC)
Góc BAH = góc CAK (do góc nhọn)
=> Tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACK (theo góc - góc)

Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
\(\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CK}\)
=> AB . CK = AC . BH

b) Gọi I là giao điểm của đường phân giác của góc BAC với BC.
Ta có:
Góc BIM = góc CIM (do đường phân giác)
Góc BAI = góc CAI (do góc nhọn)
=> Tam giác ABI đồng dạng với tam giác ACI (theo góc - góc)

Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
\(\frac{BM}{CN} = \frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CK} = \frac{MH}{NK}\)
=> BM . NK = MH . CN

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.