Cho đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm của AB, trên Ax lấy điểm M, trên By lấy điểm N sao cho góc MON = 90°

a) Ta có:
\(AB = 2AO\), với O là trung điểm của AB
\(AM = \frac{1}{2}AX\), \(BN = \frac{1}{2}BY\), với M, N lần lượt là trung điểm của AX và BY
Góc MON = 90°
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AMO và tam giác BNO:
\(AM^2 + OM^2 = AO^2\)
\(\frac{1}{4}AX^2 + OM^2 = \frac{1}{4}AB^2\)
\(OM^2 = \frac{1}{4}AB^2 - \frac{1}{4}AX^2 = \frac{1}{4}(AB^2 - AX^2)\)
Tương tự, ta có: \(ON^2 = \frac{1}{4}(AB^2 - BY^2)\)
Do đó: \(OM^2 + ON^2 = \frac{1}{4}(AB^2 - AX^2 + AB^2 - BY^2) = \frac{1}{2}AB^2\)
\(MN^2 = OM^2 + ON^2 = \frac{1}{2}AB^2\)
\(AB^2 = 4AM.BN\)

b) Ta có:
Góc MON = 90°
\(OI \perp MN\)
\(OE \perp Ax\)
\(ME \perp OI\)
\(MA.OE = ME.OI\)

c) Ta có:
Gọi K là giao điểm của AN và BM
\(P = AI \cap OM\), \(Q = BI \cap ON\)
Ta cần chứng minh ba điểm P, K, Q thẳng hàng
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AOB và đường chéo MNK:
\(\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BK}{KO} \cdot \frac{ON}{NA} = 1\)
Do đó, ba điểm P, K, Q thẳng hàng.