Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao (H thuộc BC). Trên tia HC lấy D sao cho HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AH cắt đoạn thẳng AC tại E

a) Ta có:
$\angle CAB = \angle CHA$ (cùng nằm trên cùng một cạnh AC)
$\angle C = 90^\circ = \angle AHC$ (do tam giác ABC vuông tại A)
Vậy tam giác CAB đồng dạng tam giác CHA theo góc.

Từ đồng dạng tam giác ta có:
$\frac{AB}{AC} = \frac{HA}{HC}$

b) Ta có M là trung điểm của BE nên $ME \parallel AH$.
Do đó, ta có $\angle AEM = \angle AHE = 90^\circ$.
Vậy tam giác AEM vuông tại E.

Gọi N là trung điểm của AE, ta có $ON \parallel IM \parallel EH$ và $OK \parallel IE \parallel AM$.
Vậy tam giác ABE là tam giác cân tại A.

Ta có $\angle AON = \angle AEM = 90^\circ$ và $\angle AOB = \angle AKB = 90^\circ$.
Vậy AO vuông góc với BI.

Như vậy, ta đã chứng minh được hai phần bài toán.